Định nghĩa

Một điểm x {\displaystyle x} trong không gian tôpô ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} là giới hạn của dãy số (xn) nếu, với mọi lân cận U {\displaystyle U} của x {\displaystyle x} , tồn tại N {\displaystyle N} sao cho, với mọi n ≥ N {\displaystyle n\geq N} , x n ∈ U {\displaystyle x_{n}\in U} . Định nghĩa này trở thành định nghĩa cho không gian metric nếu ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} là một không gian metric và τ {\displaystyle \tau } là tôpô tạo ra bởi d {\displaystyle d} .

Giới hạn của một dãy các điểm ( x n : n ∈ N ) {\displaystyle \left(x_{n}:n\in \mathbb {N} \right)\;} trong không gian tôpô T {\displaystyle T} là một trường hợp đặc biệt của giới hạn của một hàm số: tập xác định là N {\displaystyle \mathbb {N} } trong không gian N ∪ { + ∞ } {\displaystyle \mathbb {N} \cup \lbrace +\infty \rbrace } với tôpô cảm sinh của tập số thực mở rộng, miền giá trị là T {\displaystyle T} , và đối số n {\displaystyle n} tiến tới + ∞ {\displaystyle +\infty } , ở đây là một điểm giới hạn của N {\displaystyle \mathbb {N} } .

Tính chất

Nếu X {\displaystyle X} là một không gian Hausdorff thì giới hạn của dãy số là duy nhất nếu chúng tồn tại. Tuy nhiên điều này không đúng trong tổng quát; cụ thể, nếu x {\displaystyle x} và y {\displaystyle y} là không thể phân biệt tôpô (tức chúng có cùng lân cận), bất kỳ chuỗi nào hội tụ đến x {\displaystyle x} cũng phải hội tụ đến y {\displaystyle y} và ngược lại.